lambdaway :: insomnies

7 | list | login |load

| |

{toggle}

{uncover http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/farin_chinois.jpg 300 600 
_centerfr Considéré comme embarqué dans la surface du drapeau ondoyant sous le vent, le caractère chinois ne coute que 12 cubiques (12*4=48 points 2D). Bien plus dans l'espace 3D. En approximant - au moins localement - la surface du drapeau avec une bicubique on démontre que chaque cubique est équivalente à une courbe de Bézier contrôlée par 19 points 3D. Gain de mémoire !{br}Credit: G. FARIN,Curves and surfaces for computer aided geometric design, a practical guide.2nded. Academic Press. Boston, Mass. (1990)
_centeren Considered as embedded in the surface of the flag waving in the wind, the Chinese character costs only 12 cubic (12*4=48 2D points). Much more in 3D space. By approximating - at least locally - the surface of the flag with a bicubic we show that each cubic is equivalent to a Bézier curve controlled by 19 3D points. Memory gain !{br}Credit: G. FARIN,Curves and surfaces for computer aided geometric design, a practical guide.2nded. Academic Press. Boston, Mass (1990)
}

_h1 [[άπνοια & αϋπνία|?view=pforms4]]

_pfr D'apnées en insomnies je me suis donc lancé dans la [[ré-écriture|?view=pascalian_forms5]] d'une [[lointaine exploration|http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/straightaway.pdf]] des formes géométriques courbes dans un formalisme proche du [[lambda-calcul|?view=simply]], une sorte de géométrie algébrique, avec pour seuls outils un ensemble réduit d'opérateurs dégagés de toute considération de dimensions d'espace et de forme. L'espace de travail est de dimension quelconque, le cas pratique étant N=4. Détails dans [[pFbook.pdf|http://marty.alain.free.fr/recherche/pformes/pFbook.pdf]].
_pen From apnea to insomnia so I started the [[rewriting|?view=pascalian_forms5]] of a [[distant exploration|http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/straightaway.pdf]] of curved geometric shapes in a formalism close to the [[lambda-calculus|?view=simply]], a kind of algebraic geometry, with for only tools a reduced set of operators free from any consideration of space and shape dimensions. The working space is of any dimension, the practical case being N=4. More in [[pFbook.pdf|http://marty.alain.free.fr/recherche/pformes/pFbook.pdf]].

_pfr Le premier opérateur est {b MI} retournant la pforme milieu de n pformes données, par exemple le point milieu de plusieurs points, la courbe milieu de plusieurs courbes, et ainsi de suite pour les surfaces, volumes, hypervolumes, ... sans limite. 
_pen The first operator is {b MI} returning the pform middle of n given pforms, for example the point middle of several points, the curve middle of several curves, and so on for surfaces, volumes, hypervolumes, ... without limit.

{uncover http://lambdaway.free.fr/workshop/data/pFbook_HTML/figures/112.jpg 100 550 
 
_centerfr Du point milieu pM au segment de droite pL2{br} MI(p0,p1) -> p0p1 = MIR(p0,p1)
_centeren From the middle point pM to the linear segment pL2{br} MI(p0,p1) -> p0p1 = MIR(p0,p1)
}

_pfr Le second opérateur est {b MIR} appliquant récursivement {b MI} à n pformes données et produisant une pforme de dimension supérieure, par exemple appliqué à trois points {b MIR} produit une parabole, appliqué à deux segments {b MIR} produit un PH, connu sous le doux nom de paraboloïde hyperbolique doublement réglé, appliqué à deux PH {b MIR} produit un cube "tordu comme une guimauve", etc ... 
_pen The second operator is {b MIR} recursively applying {b MI} to n given pforms and producing a higher dimensional pform, e.g. applied to three points {b MIR} produces a parabola, applied to two segments {b MIR} produces a PH, known as a doubly set hyperbolic paraboloid, applied to two PH {b MIR} produces a "marshmallow-like" cube, etc...

{uncover http://lambdaway.free.fr/workshop/data/pFbook_HTML/figures/114.jpg 100 550 
_centerfr Du paraboloïde hyperbolique au cuboïde{br} MI(pS22_0,pS22_1) -> pV222 = MIR(pS22_0,pS22_1)
_centeren From hyperbolic paraboloïd to cuboïd{br} MI(pS22_0,pS22_1) -> pV222 = MIR(pS22_0,pS22_1)
}

_pfr Le troisième opérateur {b DIAG} produit la pforme diagonale de toute pForme donnée, par exemple appliqué à un PH {b DIAG} produit une parabole diagonale {b pL3}, appliqué à un cube "guimauve" {b DIAG} produit une surface simplement réglée dont la diagonale sera une courbe "cubique".
_pen The third operator {b DIAG} produces the diagonal pform of any given pForm, e.g. applied to a PH {b DIAG} produces a diagonal parabola {b pL3}, applied to a "marshmallow" cube {b DIAG} produces a simply ruled surface whose diagonal will be a "cubic" curve. 
 
{uncover http://lambdaway.free.fr/workshop/data/pFbook_HTML/figures/121.2.jpg 100 550
_centerfr La diagonale d'un paraboloïde hyperbolique est un arc de parabole construit sur les 3 points [p00,p1,p11] où p1=(p10+p01)/2
_centeren The diagonal of a hyperbolic paraboloid is a parabolic arc built on the 3 points [p00,p1,p11] where p1=(p10+p01)/2
}

_pfr En allant plus loin, appliqué à trois paraboles l'opérateur {b MIR} produira la première surface courbe totalement gauche, la {b pS33}, dont la diagonale, la {b pL5}, possède la belle propriété de se projeter dans notre espace à 3 dimensions sous la forme d'un arc de cercle. 
_pen Going further, applied to three parabolas the operator {b MIR} will produce the first totally left curved surface, the {b pS33}, whose diagonal, the {b pL5}, has the beautiful property of projecting into our 3 dimensional space in the form of a circular arc.

{uncover http://ensam.wiki.free.fr/S9/morpharchi_2011-12/data/pL5_cercle_oeil.jpg" 100 420 
_centerfr Une courbe (de Bézier) construite sur une combinaison paramétrique polynomiale de degré fini, 4, dont les coefficients sont (1,4,6,4,1) (le triangle de Pascal) et jouant avec des points judicieusement positionnés dans un espace quadridimensionnel a l'heureuse propriété de se projeter dans notre espace sous la forme d'un cercle. Au Diable les fonctions trigonométriques, qui cachent notre méconnaissance de cette belle courbe, le cercle, essentielle comme l'eau !
_centeren A (Bézier) curve built on a polynomial parametric combination of finite degree, 4, whose coefficients are (1,4,6,4,1) (Pascal's triangle) and playing with points judiciously positioned in a four-dimensional space has the happy property of projecting itself into our space in the form of a circle. To hell with trigonometric functions, which hide our ignorance of this beautiful curve, the circle, essential as water!
}

_pfr Ainsi donc peuvent être traitées toutes les coniques et donc les formes composées comme les cylindres, cônes, sphères et tores, et aussi les formes tubées, les patchs de Coons, les NURBS, ...
_pen Thus, all conics can be treated, and thus composite shapes such as cylinders, cones, spheres and tori, and also tubed shapes, Coons patches, NURBS, ...

{uncover http://epsilonwiki.free.fr/alphawiki_2/data/pforms_coons.jpg 100 550 
_centerfr Embarqués dans la surface ondoyante les quatre polygones réguliers coutent 3*2+4*2+5*2+6*2=36 points 2D. Bien plus de points 3D sont nécessaires pour les définir dans l'espace 3D où chaque "côté" est une courbe de Bézier contrôlée par 7 points 3D, donc au total 21+28+35+42={+ 21 28 35 42} points 3D.
_centeren Embedded in the undulating surface the four regular polygons cost 3*2+4*2+5*2+6*2=36 2D points. Many more 3D points are needed to define them in 3D space where each "side" is a Bézier curve controlled by 7 3D points, so in total 21+28+35+42={+ 21 28 35 42} 3D points.
}

_pfr Toutes ces formes étant in fine réductibles à des combinaisons multilinéaires récursives de points dans un espace affine de dimension quelconque. Ce qui rappelle fortement le [[lambda-calcul|?view=simply]] où tous les algorithmes peuvent in fine s'écrire sous la forme de cascades de lambdas. Ce qui rappelle la structure interne des composants des micro-processeurs en réseaux de [[portes logiques|?view=oops6]] (NOT, OR, AND, XOR). Ce qui fait penser aux réseaux de neurones dans le cerveau. Magnifique unité de structure entre des domaines apparemment si lointains. 
_pen All these shapes being in fine reducible to recursive multilinear combinations of points in a space of any dimension. This is very reminiscent of the [[lambda-calculus|?view=simply]] where all algorithms can be written in the form of cascades of lambdas. This reminds us of the internal structure of microprocessor components in networks of [[logic gates|?view=oops6]] (NOT, OR, AND, XOR). This makes one think of the neural networks in the brain. A magnificent unity of structure between apparently so distant domains.

_pfr Apprendre c'est construire des passerelles. Les nuits sont des passerelles. Les nuits sont plus belles que les jours. Elles sont des révélateurs.
_pen Learning is building bridges. Nights are bridges. Nights are more beautiful than days. They are revelators.

_p {i αλαιν μαρτυ | 2022/09/06 - 2023/04/15}

_img http://lambdaway.free.fr/workshop/data/pFbook_HTML/images/alien.jpg

;; coder's corner

{{hide}
{def toggle
 {input
  {@ type="button" value="french" onclick="toggle(this)"
     style="position:fixed; top:10px; left:10px; z-index:2;
            font:normal 1.0em courier; color:#fff; background:#f00;
            border:0; border-radius:30px; box-shadow:0 0 8px #fff;
            padding:5px 10px;"
}}}
}

{macro _h(\d)fr ([^\n]+)\n to {h€1 {@ class="fr"}€2}}
{macro _h(\d)en ([^\n]+)\n to {h€1 {@ class="en"}€2}}
{macro _pfr ([^\n]+)\n to {p {@ class="fr"}€1}} 
{macro _pen ([^\n]+)\n to {p {@ class="en"}€1}} 
{macro _l([\d]*)fr ([^\n]+)\n to {ul {@ class="fr" style="margin-left:€1px;"} {li €2}}}
{macro _l([\d]*)en ([^\n]+)\n to {ul {@ class="en" style="margin-left:€1px;"} {li €2}}}
{macro _centerfr ([^\n]+)\n to {center {@ class="fr" style="color:red;"}€1}}
{macro _centeren ([^\n]+)\n to {center {@ class="en" style="color:blue;"}€1}}

{style 
.fr { display:none; background:#fff;}
.en { display:block;  background:#fff;}
}

{script 
var toggle = function(obj) {
  var frs = document.getElementsByClassName('fr');
  var ens = document.getElementsByClassName('en');
  if (obj.value==='english') {
    for (var i=0; i< frs.length; i++) frs[i].style.display="none";
    for (var i=0; i< ens.length; i++) ens[i].style.display="block";
    obj.value = 'french';
  } else {
    for (var i=0; i< frs.length; i++) frs[i].style.display="block";
    for (var i=0; i< ens.length; i++) ens[i].style.display="none"; 
    obj.value = 'english';   
  }
};

}