lambdaway :: invariants

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{uncover data/noeuds.jpg 100 800 Les noeuds et les invariants}

{TITRE}

_h3 PREAMBULE 
_p La compréhension des modèles en « transformation » passe par la mise en évidence de propriétés « invariantes » dont l'analyse conduit à la définition de nouveaux modèles. Ce couplage « transformations/invariants » est typique du comportement (binaire) de l'esprit humain dans sa quête en vue de représenter pour percevoir les phénomènes de l'univers. L’histoire des sciences foisonne de toutes les illusions anthropocentriques des sens, du langage et des valeurs que la recherche obstinée d’invariants a permis d'éclairer, de caractériser et de dépasser. Nous nous proposons d'analyser quelques exemples de tels couplages, des exemples simples et d'autres qui le sont un peu moins, afin de mettre en évidence leur importance fondamentale dans notre compréhension de l'espace et du temps.

_h3 A) ESPACE

_h4 1) Et pourtant elle tourne 
_p Avant Copernic les trajectoires compliquées des planètes étaient difficiles à comprendre et à prévoir, à l'exception bien sûr des astrologues pour qui il était évident que la trajectoire hypercycloïdale de Mars dans le ciel était le fruit de son amour immodéré pour Vénus après laquelle il courrait comme un fou ... Dans le modèle Platonicien en effet l'invariant était notre planète, la Terre, et tout tournait autour d'elle, y compris le soleil. Copernic chercha les invariants et en déduisit que « si on faisait l'hypothèse » que l'invariant n'était plus la Terre mais le Soleil, tout devenait clair et la complexité des trajectoires apparentes des planètes provenait de la composition entre leur simple rotation autour du soleil avec celle de notre planète, elle-même en simple rotation autour du Soleil. En bon matheux chrétien Copernic ne remettait pas en cause le système Platonicien, et considérait son hypothèse comme une simple facilité de calcul, sans plus, laissant à Galilée la responsabilité « politique » d'en déduire qu'il s'agissait de la réalité : « {i eppur si muove!} »

_h4 2) ... mais pas de façon régulière ! 
_p On inventa alors la représentation du système solaire sous la forme de sphères concentriques autour du soleil sur lesquelles étaient piquées les planètes et certains discutèrent longtemps sur la constitution de ces sphères : plexiglas, verre, filet à mailles fines, structures de tenségrité, ... A regarder de plus près on constata que la trajectoire d'une planète n'était pas un cercle parfait le long duquel elles se déplace à vitesse constante, mais un cercle aplati dont le centre se serait dédoublé en deux foyers, la courbure ainsi que la vitesse variant constamment, parfois de façon importante pour les planètes éloignées du Soleil. Ce qui mit un terme aux discussions sur les sphères concentriques. Cherchant l'invariant de ces nouvelles trajectoires, l'astronome Kepler (qui vivait des calculs de position des planètes dont avaient besoin les astrologues afin de prévoir la destinée des princes qui nous gouvernent) découvrit que l'aire balayée par seconde par le rayon Soleil->Planète était constante, propriété qui faisait de ces trajectoires aplaties des ellipses connues depuis l'antiquité ; on restait en famille.

_h4 3) et Newton découvrit la gravitation 
_p Cette aire constante caractéristique d'une trajectoire elliptique fut d'abord naturellement attribuée à la toute puissance Divine, jusqu'à ce que Newton lui associe un invariant, à savoir « {i le produit de la force gravitationnelle par le carré de la distance entre le soleil et une planète} », égal au produit constant de leurs masses. Il découvrait au passage la loi universelle de la Gravitation, mais comme rien n'est jamais parfait, c'était au prix de l'introduction d'une mystérieuse {i action instantanée à distance}, concept interdit en physique depuis Aristote.

_h4 4) Einstein au secours de Newton 
_p La théorie de la gravitation universelle expliquait beaucoup de phénomènes mais il était assez gênant qu'elle soit assise sur l'imcompréhensible action instantanée à distance, et ce fut Einstein qui vint résoudre ce dilemme. Il déclara que « {i la force de gravitation n'existait pas }», que les planètes n'étaient donc soumises à aucune force et qu'elles se déplaçaient en ligne droite ... dans un espace courbé par la masse du Soleil ! Dans cette interprétation, le soleil s'est installé dans l'espace comme une boule bien pesante au centre d'un trampolino, et l'a déformé sur toute son étendue, en y mettant le temps qu'il faut. Il n'est plus alors besoin de supposer une quelconque force gravitationnelle pour expliquer la trajectoire de planètes, dans un tel espace courbe les lignes droites, appelées géodésiques, sont bien les courbes elliptiques observées. Avec cette dernière étape, on ne peut qu'admirer la façon dont la recherche constante des invariants dans les trajectoires complexes des planètes a conduit à la découverte de l'invariant le plus simple qui se puisse imaginer dans une transformation : {i l'accélération zéro}.

_h3 B) DIMENSION

_h4 1) Les fourmis 
_p Nous voyons les fourmis se déplacer à toute vitesse sur des surfaces planes, passant du sol aux murs sans aucun problème. A considérer l'échelle de leur point de vue, on peut admettre qu'elles n'ont aucune perception d'une quelconque troisième dimension perpendiculaire aux surfaces sur lesquelles elles se déplacent. De plus, et même si l'espace dans lequel elles vaquent est vécu comme étant bidimensionnel (déplacement tout droit, à gauche, à droite), les fourmis ne peuvent en visualiser qu'une représentation monodimensionnelle, sur un grand cercle à l'infini dont elles sont le centre. Ce qui peut poser quelques problèmes ... Imaginons ces fourmis sur une table observant un petit rectangle de carton dont les largeurs ont été peintes en rouge et les longueurs en vert. Elles n'en voient au mieux que deux segments constituant deux des arêtes. Si ce rectangle de carton est maintenant mis en rotation autour de l'axe vertical à la table, les fourmis ne voient qu'une succession de segments en perpétuelle transformation de couleur et de longueur, absolument rien d'autre, l'objet rectangle est inconcevable dans leur monde visible monodimensionel. Tout ce qu'elles peuvent constater est que les couples de segments rouge et vert échangent leurs longueurs : quand l'un diminue jusqu'à disparaître, l'autre grandit jusqu'à une longueur maximale, et qu'il existe même une combinaison invariante, la somme des carrés des segments rouge et vert. Le théorème de Pythagore aidant, elles peuvent alors conceptualiser un objet solide, un rectangle dont le carré de la diagonale est cette combinaison invariante, un objet bidimensionnel qui ne peut être représenté qu'en sortant de leur espace plan, en prenant de la hauteur dans un espace tridimensionnel, totalement abstraits pour une fourmi mais bien pratique pour décrire le phénomène perçu. Et c'est exactement la situation dans laquelle nous nous trouvons.

_h4 2) le dé 
_p Analysons la perception que nous avons d'un dé en rotation. On sait (au moins par le toucher) qu'il s'agit d'un cube comprenant 6 faces, mais la rétine ne voit jamais au mieux que 3 faces quadrangulaires en perpétuelle déformation, allant du carré parfait au simple segment avant de disparaître. Les informations bidimensionnelles que nous communique la rétine nous permettent de constater que les déformations des faces sont corrélées, quand une face grandit jusqu'au carré d'aire maximale, une autre se réduit jusqu'au segment d'aire nulle. On peut même constater que la somme des aires visuelles est relativement constante et que l'ensemble est contenu dans un cercle dont on peut définir le diamètre maximum ; et que si la somme des longueurs de trois arêtes concourantes n'est pas constante, la somme de leurs carrés l'est : a{sup 2} + b{sup 2} + c{sup 2} = Constante. On a trouvé un invariant qui fait penser à la découverte des fourmis : c'est en sortant du plan qu'elles prenaient conscience du rectangle de carton en rotation. Par analogie, dans le cas du dé, l'invariant trouvé nous conduit à associer l'image perçue à un cube solide (invariant) en rotation dans un espace à 3 dimensions, qui ne nous serait perceptible dans sa totalité que si nous pouvions ... prendre de la hauteur dans une espace à quatre dimensions.

_h4 3) la quatrième dimension 
_p On constate qu'un corps en mouvement rapide (proche de la vitesse de la lumière) dans notre espace tridimensionnel se contracte dans le sens du déplacement et que son horloge ralentit, son temps se dilate. Pour expliquer ces phénomènes on émit longtemps l'hypothèse que l'espace était rempli d'une sorte de liquide, {i l'éther}, déformant les corps en mouvement comme l'eau peut déformer la coque élastique d'un bateau, et d'autres hypothèses assez complexes ; des chercheurs célèbres comme Poincaré, Lorentz, Minkowski inventèrent des mécanismes mathématiques sophistiqués, des calculs faisant appel à des concepts abstraits couplant l'espace et le temps dans des espaces quadridimensionnels : dans ce type de représentation, le corps en mouvement rapide pouvait être considéré comme projection d'un hyper-corps solide (invariant) quadridimensionnel en rotation par rapport à l'axe du temps. Cet hyper-corps est totalement hors de notre perception et rien ne prouve son existence, mais de même qu'on a tout intérêt à imaginer un dé comme un cube et non comme un triplet de facettes mouvantes, on gagne à imaginer notre univers comme un continuum spatio-temporel quadridimensionnel dans lequel les translations d'objets qui se déforment sont remplacées par des rotations d'objets qui ne se déforment pas. Ayant bien compris ces approches, le jeune Einstein arriva de son Bureau des brevets à Berne, osa affirmer que notre espace était vraiment quadridimensionel et tout s'expliqua : la relativité Restreinte était née.

_h3 C) PERCEPTION

_h4 1) Transformation perspective et invariant 
_p Les figures suivantes sont trois représentations du déplacement d'un cube dans l'espace.

{table {tr
{td {img {@ src="http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/invariants/1_plan.jpg" width="100%"}}{br}{i fig.1 : cube invariant dans l'espace construit, euclidien}}
{td {img {@ src="http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/invariants/2_axo.jpg" width="100%"}}{br}{i fig.2 : cube invariant dans l'espace construit, euclidien}}
{td {img {@ src="http://lambdaway.free.fr/lambdaspeech/data/invariants/3_pers.jpg" width="100%"}}{br}{i fig.3 : cube se déformant dans l'espace perçu, projectif}}
}}

_ul La figure (fig.3) est la seule à correspondre à notre perception, et ce que nous percevons (suite d'images bidimensionnelles) ne nous permet pas de comprendre que les quatre groupes de trois facettes rouges appartiennent à un même objet cubique en déplacement. Il nous faut faire un effort d'abstraction et imaginer d'autres représentations spatiales pour trouver une propriété invariante. 
_ul La figure (fig.2) (appelée axonométrie) nous donne accès à une représentation invariante dans un passage à l'infini "en diagonale". 
_ul La figure (fig.1) est l'aboutissement ultime, une représentation bidimensionnelle (la vue en plan), la plus abstraite (on a perdu la troisième dimension) mais aussi la plus précise (plus de déformation) et la plus utile à toutes les manipulations contrôlées qu'on peut faire (en plan) de cet objet cubique.

_h3 2) R2 -> R3 -> R4 
_p Cette dualité «espace perçu / espace construit» nous semble mériter quelques considérations mathématiques. On apprend que les transformations de l'espace que sont la translation, la rotation, l’homothétie et la perspective, qui intéressent des objets tridimensionnels et leur repésentation bidimensionnelle, nécessitent de façon inattendue l'introduction d'une ... quatrième dimension. C'est en effet en travaillant dans un tel espace que ces transformations se simplifient, peuvent s'exprimer sous forme de tableaux de règles de trois que les mathématiciens appellent matrices 4x4, matrices qui peuvent être facilement manipulées et combinées. Cet outillage mathématique nous permet ainsi d'associer aux images bidimensionnelles perçues sur notre rétine des objets appartenant à un espace quadridimensionnel, des objets qui restent invariants dans n'importe quelle combinaison de translations, de rotations, d'homothéties et de perspectives. C'est ce que nous avons appris à faire de façon quasi naturelle, à la volée, en temps réel, à tel point que nous ne sommes pas étonnés de voir filer sans mal un train sur des rails visiblement non parallèles parce que nous construisons une représentation dans laquelle ils sont parallèles !

_h4 3) Relativité et perspective 
_p La perception bidimensionnelle (l’image) d’un cube qui se déplace à petite vitesse et loin d’un observateur est celle d’une forme invariante. Mais : 
_ul  si ce cube se déplace à grande vitesse sa forme n’est plus invariante, l’observateur constate une contraction de la dimension dans le sens du déplacement; la relativité restreinte nous montre ce cube comme projection dans R3 d’un hyper_cube de l’espace R4 muni de la métrique relativiste, un objet invariant qui ne subit qu’une simple rotation sur l’axe du temps. 
_ul  si maintenant le cube se déplace lentement mais à faible distance de l’observateur, il est perçu en continuelle déformation; et l’on peut imaginer de même que ce cube est la projection dans R2 d’un hyper_cube de l’espace R4 muni de la métrique perspective, qui reste invariant et ne subit qu’un simple déplacement sur l’axe des profondeurs.

_p On constate donc que les effets (déformations) relativistes apparaissent aux grandes vitesses, que les effets (déformations) perspectifs apparaissent aux faibles éloignements. On ne peut qu'être étonné par cette étrange analogie entre deux sciences si éloignées !

_h4 4) Réel et virtuel 
_p On utilise en général la perspective «directe» pour représenter de façon «visible» des objets conçus de façon abstraite, à partir de vues définies en plan et en élévation. On peut définir une sorte de perspective inverse comme l'opération consistant à passer de la représentation à la construction, de l'image à l'objet, de l'espace représenté (virtuel ou réel ?) dans lequel les «formes» ne sont pas invariantes dans les transformations, à un espace construit (réel ou virtuel ?) dans lequel les «objets» sont invariants. La perspective directe est un mode de représentation de l’espace 3D, et la perspective inverse peut être considérée comme un mode de conception de l’espace 3D. On retrouve les fondements de la géométrie descriptive dont les constructions sont des moyens d’imaginer et de travailler facilement sur des objets invariants, alors que nous ne percevrons jamais que la projection bidimensionnelle et mouvante sur notre rétine. Et la question reste posée de savoir où se trouvent le réel et le virtuel.

_h3 D) REPRESENTATION

_h4 1) Klein et la structure commune des géométries 
_p Nos histoires astronomiques et relatives témoignent des rapports de la géométrie avec d'autres domaines de la connaissance et de ses apports pour une compréhension des phénomènes sur le plan de la rationalité et de l'intuition. Ces approches ne prennent sens que parce qu'elles renvoient à une connaissance première qu'est la géométrie comme science des situations spatiales. Rudolf Bkouche[2] met en relief deux grandes problématiques autour desquelles s'est constituée la géométrie en tant que science autonome : « {i La problématique de la mesure des grandeurs géométriques} » et « {i la problématique de la représentation plane des situations spatiales} ». Elles sont étroitement liées par les problèmes étudiés et les méthodes employées, toutefois leur unification ne s'est faite que dans la seconde moitié du XIXe siècle avec le Programme d'Erlangen de Felix Klein[3]. En 1872, ce jeune professeur présenta un programme d'enseignement de la géométrie, fondé sur la notion de groupe de transformations qui réunifiait les méthodes métrique et projective sur un principe général. L'objectif consistait à révéler la structure commune des différentes géométries apparues au cours du XIXe siècle pour en dégager les points de similitude. Depuis le programme d'Erlangen, il est entendu que la géométrie est l'étude des propriétés {i invariantes} par l'action d'un groupe de {i transformations} opérant sur un ensemble. Cette synthèse influença profondément l'évolution de la géométrie et des mathématiques dans leur ensemble en proposant une vision unifiée qui finit bien par s'imposer.

_h4 2) Construction du réel 
_p Face à la complexité d’un univers où être et matière sont en perpétuelles transformations, l’esprit humain, soucieux d’intelligibilité, doit solidement s’arrimer pour ne pas sombrer dans une déroute abstraite. Si les progrès de la science illustrent l’évolution des représentations à l’échelle d’une humanité civilisée, l’individu à son niveau doit s’atteler à une quête non moins glorieuse et surprenante.

_p Des travaux de Jean Piaget[4], psychologue de l’enfance, suggèrent différents modèles de représentation qui rythmeraient la construction du réel chez l’enfant. Il y est question d'un emboîtement de géométries qui situe l’évolution du sujet dans des espaces successifs de représentation. Partant d’un état initial où l’enfant ne voit pas sa mère, et ne se la représente qu'en termes de chaleur, de contact et de sons, il évolue avec l’acquisition progressive de la vue vers une perception floue des formes l’environnant. Ainsi au tout début le visage de la mère s’apparenterait à un ovale auquel s'attacheraient de façon assez libre deux billes et un rouge mouvant ; comment en effet attacher de façon constante les yeux et la bouche au visage puisque selon le point de vue, (la mère se postant en profil incliné par exemple), ils ne se présentent pas comme y étant inclus strictement. 
_p L’enfant abandonne ensuite ce modèle primaire lorsqu’il est capable de localiser leur appartenance au visage et de se mouvoir ainsi dans un espace respectant les invariants de la géométrie topologique. Mais ce volume en perpétuelle transformation, qui s’éloigne et revient composant joyeusement ses translations de rotations arbitraires, est-il toujours le même ? Pour s’en assurer l’enfant s’arme de la géométrie projective ou un ovale projeté reste un ovale. Progressivement, c’est l’espace des géométries affine puis euclidienne dans lesquels il se place pour se représenter les proportions puis les distances entre les différents éléments composants le visage de sa mère et atteindre ainsi la perception {i adulte} de la tridimensionnalité.

_h4 3) Représentation et langage 
_p Ces espaces plus complexes que nous sommes amenés à construire pour maîtriser la représentation bidimensionnelle que nous transmet la rétine, restent intransmissibles en l’état. Le réel n’est pas reproductible objectivement, et nous sommes contraints à utiliser les subterfuges de la représentation plane pour présenter à l’esprit ce qu’il doit percevoir. S’impose alors la construction d’un langage dont l’apprentissage est indispensable à la compréhension de la représentation.

_p Le patrimoine bâti du Moyen-âge témoigne de la réalisation de structures aux formes complexes. Concevoir l’édification d’une cathédrale supposait l’intervention préalable de plans explicitant l’ouvrage. Ce savoir résidait dans « l’Art du trait », farouchement gardé par les Maîtres-constructeurs qui véhiculaient leur expertise au gré des chantiers en cours. On retrouve trace aujourd’hui encore, d’inscriptions cabalistiques gravées dans la pierre des monuments et renfermant le secret d’un assemblage subtil de charpente. Au XVIIIe siècle, Gaspard Monge[5] réhabilita cet « Art du trait » en définissant les principes de la Géométrie Descriptive comme « {i l'art de raisonner sur les objets tridimentionnels sans jamais les représenter }». Langage tout aussi inaccessible au commun des mortels, dont les plans et coupes des architectes sont les exemples les plus répandus. L’artiste du XVe siècle, épris de réalisme grec, souhaitait au contraire créer une image conforme à la réalité telle que perçue par les sens.

_p Une volonté de révéler les lois mathématiques régissant la structure de l’espace conduisit l’architecte sculpteur Brunelleschi à découvrir le principe de la perspective focale où «l'art de représenter l'espace infini dans une fenêtre finie». L’idée consiste à placer un écran entre l’observateur et la scène à peindre. La projection de l’ensemble des droites émanant de l’objet jusqu’à l’œil détermine une section sur l’écran. Découverte fondamentale pour la Renaissance, puisque cette section bidimensionnelle intercepte les mêmes droites suivies par la lumière émanant de la scène et fait sur l’œil la même impression de réalité. La perspective, plus accessible que la Descriptive, est aujourd'hui devenue un outil de prédilection dans la communication des oeuvres architecturales en dehors du cercle étroit des bâtisseurs initiés...

_h3 CONCLUSION 
_p « {i Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme} » [6]... et n’est que différence de points de vue ! Les quelques exemples analysés illustrent les limites de notre représentation et les entraves du sens commun. Nous nous sommes intéressés à montrer comment la recherche d’invariants peut conduire à une description plus objective de phénomènes en constante transformation : 
_ul les trajectoires complexes des planètes ramenées à la considération d'un invariant nul, 
_ul les déformations relativistes simples projections d'hypercorps invariants en rotation, 
_ul les déformations perspectives simples projections d'hypercorps invariants en translation, 
_ul l'apprentissage de l'espace par l'enfant lié aux invariants de géométries emboitées, 
_ul la dualité entre la perception et la construction, le réel et le virtuel.

_p La relativité restreinte, modèle s'il en est du couplage "transformation / invariant", continue de défier la pensée de tous les jours dans la mesure où sa représentation impose une dimension supplémentaire inaccessible. Le manque d'outils de représentation matérielle fait obstacle à sa perception alors que cette théorie décrit pourtant « plus objectivement » l'espace que ne l'ont fait les théories précédentes.

_p Alors, pour mieux visualiser les raisonnements relativistes, on se met à rêver d'outils comme ceux que la géométrie descriptive apporte à la représentation et à la conception des formes géométriques tridimensionnelles.

_p {i Faudra-t-il mettre la relativité en perspective ?}

_h3 REFERENCES

_ul 1 Pascal 1670 : Blaise Pascal, Pensées dans Oeuvres Complètes, p.513, Seuil, 1963. 
_ul 2 Bkouche, 1992 : Rudolf Bkouche, Le retour de la géométrie, Universalia 1992. 
_ul 2 Bkouche, 1997 : Rudolf Bkouche, Quelques remarques à propos de l'enseignement de la géométrie, Repères-IREM n°26, 1997. 
_ul 3 Klein, 1872 : Felix Klein, Le programme d'Erlangen, (traduction Padé), Gauthier-Villars, Paris, 1974. 
_ul 4 Piaget, 1937 : Jean Piaget, La construction du réel chez l’enfant, Delachaux et Niestlé, Neuchâtel, 1937. Wikipedia.org 
_ul 5 Monge, 1899 : Gaspard Monge, Géométrie descriptive, réédition Jacques Gabay, Paris, 1989. 
_ul 6 Clazomènes, 500-428 av.J.C : Anaxagore de Clazomènes serait à l'origine de cette citation. 
_ul 7 Gamov, 1946 : Georges Gamov, Monsieur Tompkins au pays des Merveilles, Réédition Dunod, 1965.

_ul [[un-invariant-qui-engendre-des-transformations-des-deformations-des-germinations-des-bourgeonnements-des-reduplications-et-des-metamorphoses/| https://jadislherbe.blog/2020/05/19/1-un-invariant-qui-engendre-des-transformations-des-deformations-des-germinations-des-bourgeonnements-des-reduplications-et-des-metamorphoses/]]
_ul [[http://www.relativite.info/invariance%20maxwell1.htm| http://www.relativite.info/invariance%20maxwell1.htm]]

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{def TITRE
{center
{div {@ style="font-size:2.0em"}TRANSFORMATIONS & INVARIANTS }
{div} [[Alain Marty|http://b2b3.free.fr/confs/]] & [[Marine Bagneris|http://marine.bagneris.free.fr/]]
{hr} « {i Par l'espace l'univers me comprend{div}et m'engloutit comme un point ;{div}par la pensée je le comprends.} »}
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